[mathjax]
問題
解答
\(t=\tan x\)として置換すると
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{\tan x}{\log^2 \tan x+\pi^2}dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{t}{(t^2+1)(\log^2 t+\pi^2)}dt\)
\(f(z)=\displaystyle\frac{z}{(z^2+1)(\mathrm{Log} z-\pi i)}\) として下の経路で積分。
対数関数を多価関数にしないために通常は\(-\pi\leq \theta\leq \pi\)にとることが多いが、今回は\(0\leq\theta\leq 2\pi\)にとる。こうすることで、一価関数となる。
留数定理より以下の等式が導かれる。
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\mathrm{Log} x-\pi i)}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} f(z)dz\)
\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\mathrm{Log} x+2\pi i-\pi i)}dx+\displaystyle\int_{C_{4}} f(z)dz\)
\(=2\pi i\times (留数和)\)
※左辺第三項は積分路を一周しているので\(\log z=\log x+2\pi i\) となる。
左辺第一項と第三項
\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\log x-\pi i)}dx+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\log x+2\pi i-\pi i)}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\log x-\pi i)}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\log x+\pi i)}dx\)
\(=2\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\log^2 x+\pi^2 )}dx\)
左辺第二項と第四項
結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。
第二項
\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)|) \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z}{(z^2+1)(\mathrm{Log} z-\pi i)}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}}{(R^2 e^{2i\theta}+1)(\log R+i\theta+\pi i} \to 0\)
第四項
\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より
\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\)
※ \(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば
\(zf(z)=\displaystyle\frac{z}{(z^2+1)(\mathrm{Log} z-\pi i)}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}}{(r^2 e^{2i\theta}+1)(\log r+i\theta+\pi i}) \to 0\)
右辺
極は\(z=-1\)、\(z=\pm i\)で、留数は
\(\mathrm{Res}(f(z) , -1)=\displaystyle\lim_{z\to -1}\displaystyle\frac{z}{(\log z-\pi i)(z^2+1)}(z+1)=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\mathrm{Res}(f(z) , i)=\displaystyle\lim_{z\to i}\displaystyle\frac{z}{(\log z-\pi i)(z^2+1)}(z-i)=-\displaystyle\frac{1}{\pi i}\)
\(\mathrm{Res}(f(z) , -i)=\displaystyle\lim_{z\to -i}\displaystyle\frac{z}{(\log z-\pi i)(z^2+1)}(z+i)=\displaystyle\frac{1}{\pi i}\)
よって右辺の留数和は
\(2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{\pi i}+\displaystyle\frac{1}{\pi i}\biggr)=\pi i\)
まとめ
以上のことをまとめると留数定理の式は以下のように変わる。
\(2\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)(\log^2 x+\pi^2)}dx=\pi i\)
よって答えは
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{\tan x}{\log^2 \tan x+\pi^2}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\)
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{\tan x}{\log^2 \tan x+\pi^2}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\)
