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複素積分問題22
\(a>0\)
解答
という経路を取ります。
実軸上「\(-R\)～\(R\)」\(+\)「半円」＝「一周積分」
今、実軸上「\(-R\)～\(R\)」の部分の積分を求めたい。間接的に求めるので、まずはほかの二項から考えます。
\(f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\) とおく。
一周積分
\(\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dz=2\pi i\times (留数和) \)
半円の中に含まれている極は、 \(z=ia\) なので、この値は
\(2\pi i\times\biggl[\displaystyle\frac{e^{iz}}{2z}\biggr]_{z=ia}\)\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{e^{-a}}{2ia}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)
半円
結論から言うと、これは0になります。以下、示します。
\(|f(z)|\) を上から押さえます。円上では\(|z|=R\) が成り立つ。
三角不等式。
\(|z^2+a^2|\geq |z|^2-a^2=R^2-a^2\)
また、
\(|e^{iz}|=|e^{i(x+yi)}|=|e^{ix-y}|=|e^{ix}||e^{-y}|=e^{-y}\leq 1\) （\(y\geq 0\)なので）
これら二つから、次のような不等式が成立。
\(|f(z)|=\biggl|\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\biggr|\leq \displaystyle\frac{1}{R^2-a^2}\)
よって
\(|\displaystyle\int_{C_{2}}f(z) dz|\leq \displaystyle\int_{半円}|f(z)||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^2-a^2}\)
これは、\(R\) を無限大にすると\(0\) に収束。
結果
実軸上「\(-R\)～\(R\)」\(+\)「半円」＝「一周積分」
半円部分が0で、一周積分部分が \(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)なので
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)
これの第二項は奇関数なので、\(0\)となる。
第一項は、偶関数なので、問題の積分の答えは以下のようになる。
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2ae^a}\)
答え
\(\displaystyle\frac{\pi}{2ae^a}\)
