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目次
複素積分問題23
思考
複素積分。留数の原理を使います。
計算
はじめに
\(z=e^{i\theta}\)と置きます。すると、\(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=iz\)
① \(z=e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\)
② \(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos \theta-i\sin \theta\)
（①－②）÷2より \(\cos \theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)
これらの事実を使っていきます。
本題
問題の積分をIとおくと
\(I=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{a^2-2a\cos \theta+1}\)
\(I=-\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{az^2-(1+a^2)z+a}\) （経路は単位円）
\(I=\displaystyle\frac{i}{2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(az-1)(z-a)}\)
場合分け
（\(a\)の範囲で極が変わる）
\(|a|>1\)のとき
\(\displaystyle\frac{1}{a}\)が極。
\(\displaystyle\frac{i}{2}\cdot 2\pi i\cdot \displaystyle\frac{1}{a}\cdot \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}-a}=\displaystyle\frac{\pi}{a^2-1}\)
\(|a|<1\)のとき
\(a\)が極。
\(\displaystyle\frac{i}{2}\cdot 2\pi i\cdot\displaystyle\frac{1}{a^2-1}=\displaystyle\frac{\pi}{1-a^2}\)
答え
\(\displaystyle\frac{\pi}{|a^2-1|}\)
