[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)
解答
一般論
三角関数が入る場合の多くの解き方です。
\(z=e^{i\theta}\) とおくと、経路は単位円一周になり、
\(z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) \(\cdots\) ①
\(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) \(\cdots\) ②
①＋②から \(\cos\theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)
①－②から \(\sin\theta=\displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}\)
また \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}=iz\)
まとめると
\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} f(\cos \theta, \sin\theta) d\theta=\displaystyle\int_{z=|1|} f(\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}, \displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}) \displaystyle\frac{dz}{iz}\)
今回
\(z+z^{-1}=2\cos\theta\) \(d\theta=\displaystyle\frac{dz}{iz}\)を問題に代入する。（経路も変わる）
\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)
\(=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{1}{5-2(z+z^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{dz}{iz}\) \(\cdots\) 代入した
\(=i\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{2z^2-5z+2}\) \(\cdots\) 整理した
\(=\displaystyle\frac{i}{2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(z-2)(z-\frac{1}{2})}\)
経路は単位円であり、内部にある極は \(z=\displaystyle\frac{1}{2}\)なので
\(i\cdot 2\pi i \biggl[\displaystyle\frac{1}{(2z^2-5z+2)’}\biggr]_{z=\frac{1}{2}}\) \(\cdots\) 1位の極の場合の公式
\(=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)
コーシーの積分公式使ってもよい。
