複素積分問題4

複素積分問題
スポンサーリンク

[mathjax]

 

問題

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)

 

積分問題61番
積分問題61番  解答1複素積分の方法で解く。以下の経路で考える。  \(\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{半円} \fr

こちらの問題の積分範囲を倍にしたもの。

この問題は重要なので少し変えて、複素積分の記事としてもう一度載せました。

 

解答

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)

 

 

上の経路での積分を考えます。

「一周」=「実軸上(\(C_{1}\))」+「半円(\(C_{2}\))」

 

留数定理より

\(2\pi i\times (留数和)\)\(=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\)

 

左辺

領域内の極(\(z^4+1=0\)の解で上半面にあるもの)は

\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)

※\(R\to\infty\)にするため、上半面にある極がすべて経路内に入る。

 

これら二点でのそれぞれの留数は

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)

 

よってこの経路に沿った積分値は

 

\(2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

右辺第一項

 R→∞にすると第一項は問題の式。

 

右辺第二項

\(R\to\infty\)のときを考える。

 

\(|z|>1\) (\(R\to\infty\)なので)より、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)

 

\(|f(z)| \leq \displaystyle\frac{1}{z^4+1}\) となる。

 

よって \(\biggl|\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\int_{C_{1}} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^4+1}\biggr||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\) 

※\(|dz|=\pi R\)は半円より

 

まとめ

\(2\pi i\times (留数和)\)\(=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\)

 

これらに上の結果を代入すると

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

となり、答えが得られた。

 

タイトルとURLをコピーしました