[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)
こちらの問題の積分範囲を倍にしたもの。
この問題は重要なので少し変えて、複素積分の記事としてもう一度載せました。
解答
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)
上の経路での積分を考えます。
「一周」＝「実軸上（\(C_{1}\)）」＋「半円（\(C_{2}\)）」
留数定理より
\(2\pi i\times (留数和)\)\(=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\)
左辺
領域内の極（\(z^4+1=0\)の解で上半面にあるもの）は
\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)
※\(R\to\infty\)にするため、上半面にある極がすべて経路内に入る。
これら二点でのそれぞれの留数は
\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)
\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)
よってこの経路に沿った積分値は
\(2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)
右辺第一項
R→∞にすると第一項は問題の式。
右辺第二項
\(R\to\infty\)のときを考える。
\(|z|>1\) （\(R\to\infty\)なので）より、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)
\(|f(z)| \leq \displaystyle\frac{1}{z^4+1}\) となる。
よって \(\biggl|\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\int_{C_{1}} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^4+1}\biggr||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\)
※\(|dz|=\pi R\)は半円より
まとめ
\(2\pi i\times (留数和)\)\(=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\)
これらに上の結果を代入すると
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)
となり、答えが得られた。
