複素積分問題5

複素積分問題
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問題

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx\)

 

複素積分問題22
 複素積分問題22  \(a>0\)  解答  という経路を取ります。実軸上「\(-R\)~\(R\)」\(+\)「半円」=「一周積分」 今、実軸上「\(-R\)~\(R\)」の部分の積分を求めたい。間接的に求めるので、まずはほかの二

こちらの問題の積分範囲を倍にしたもの。

重要問題なので少し変えて複素関数の記事として再掲。

 

解答

 

 

留数定理より

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=2\pi i\times(留数和)\)

 

変形すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=2\pi i\times(留数和)\)

 

結論から言うと、左辺の第二項と第三項が\(0\)になり、右辺が計算できることから、求めたい左辺の第一項が計算できるというわけです。

 

左辺第二項

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx\)は奇関数なので\(0\)

 

左辺第三項

これは0になることを以下に示します。

\(|f(z)|\) を上から押さえます。半円経路上では\(|z|=R\) が成り立つ。

 

三角不等式から

\(|z^2+a^2|\geq |z|^2-a^2=R^2-a^2\)

 

また、

\(|e^{iz}|=|e^{i(x+yi)}|=|e^{ix-y}|=|e^{ix}||e^{-y}|=e^{-y}\leq 1\) (\(y\geq 0\)なので)

 

これら二つから、次のような不等式が成立。

 \(|f(z)|=\biggl|\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\biggr|\leq \displaystyle\frac{1}{R^2-a^2}\)

 

よって

\(|\displaystyle\int_{C_{2}}f(z) dz|\leq \displaystyle\int_{C_{2}}|f(z)||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^2-a^2}→0\)        \((R\to\infty)\)

※\(dz=\pi R\) 半円なので

 

右辺

上半円の中に含まれている極(\(R\to\infty\)にするため上半分の極は全て経路内になる)は、 \(z=ia\) なので、この値は

 

\(2\pi i\times\biggl[\displaystyle\frac{e^{iz}}{(z^2+a^2)’}\biggr]_{z=ia}\)\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{e^{-a}}{2ia}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

結果

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=2\pi i\times(留数和)\)

にすべて代入すると

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

となり、答えが得られた。

 

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