[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx\)
こちらの問題の積分範囲を倍にしたもの。
重要問題なので少し変えて複素関数の記事として再掲。
解答
留数定理より
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=2\pi i\times(留数和)\)
変形すると
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=2\pi i\times(留数和)\)
結論から言うと、左辺の第二項と第三項が\(0\)になり、右辺が計算できることから、求めたい左辺の第一項が計算できるというわけです。
左辺第二項
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx\)は奇関数なので\(0\)
左辺第三項
これは0になることを以下に示します。
\(|f(z)|\) を上から押さえます。半円経路上では\(|z|=R\) が成り立つ。
三角不等式から
\(|z^2+a^2|\geq |z|^2-a^2=R^2-a^2\)
また、
\(|e^{iz}|=|e^{i(x+yi)}|=|e^{ix-y}|=|e^{ix}||e^{-y}|=e^{-y}\leq 1\) （\(y\geq 0\)なので）
これら二つから、次のような不等式が成立。
\(|f(z)|=\biggl|\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\biggr|\leq \displaystyle\frac{1}{R^2-a^2}\)
よって
\(|\displaystyle\int_{C_{2}}f(z) dz|\leq \displaystyle\int_{C_{2}}|f(z)||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^2-a^2}→0\) \((R\to\infty)\)
※\(dz=\pi R\) 半円なので
右辺
上半円の中に含まれている極（\(R\to\infty\)にするため上半分の極は全て経路内になる）は、 \(z=ia\) なので、この値は
\(2\pi i\times\biggl[\displaystyle\frac{e^{iz}}{(z^2+a^2)’}\biggr]_{z=ia}\)\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{e^{-a}}{2ia}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)
結果
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=2\pi i\times(留数和)\)
にすべて代入すると
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)
となり、答えが得られた。
