[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\) （\(0<k<1\)）
解答
上のような経路を取る。留数定理より以下の関係式が得られる。
\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx+\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}e^{2\pi ik}dx+\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz=2\pi i(留数和) \)
※第三項は積分路一周しているので\(e^{2\pi ik}\)がかかることに注意。
左辺第二項と第四項
結果から言うと\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で\(0\)になる。
第二項
\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円} |z^{k-2}|\biggl|\displaystyle\frac{z}{z+1}\biggr||dz|\)
\(\leq R^{k-2}\cdot 2\pi R=2\pi R^{k-1}\to 0\) （\(R\to\infty\)、\(0<k<1\)）
第四項
\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} \displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1}dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円} |z^{k-1}|\biggl|\displaystyle\frac{1}{z+1}\biggr||dz|\)
\(\leq r^{k-1} \cdot 2\pi r=2\pi r^k \to 0\) （\(r\to 0\)）
右辺（一周積分）
経路内にある極は \(z=-1\)なので
\(2\pi i \mathrm{Res}[\displaystyle\frac{z^{k-1}}{z+1} , -1]=2\pi i(-1)^{k-1}=-2\pi i(-1)^k=-2\pi ie^{\pi ik}\)
結果
留数定理で\(R\to \infty\)、\(r\to 0\) 極限を取った結果を整理する。
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}(1-e^{2\pi ik})dx=-2\pi ie^{\pi ik}\)
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\)\(=\displaystyle\frac{2\pi ie^{\pi ik}}{e^{2\pi ik}-1}=\pi\displaystyle\frac{2i}{e^{\pi ik}-e^{-\pi ik}}=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi k}\)
が答えとなる。
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi k}\)
