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問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx\)

と似た感じの問題です。
解答
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3\sin x-\sin 3x}{4 x^3} dx\)
\(f(z)=\displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3}\) とおく。(\(-2\)を入れたのは後でわかる)
この経路で考えると留数定理より(\(R\to \infty\)、\(r\to 0\)として)
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\)
\(+\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz=0\) \(\cdots\) ①
第一項と第三項
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx\)
\(=-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{-ix}-e^{-3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-2i\sin 3x+6i\sin x}{4 x^3} dx\)
\(=2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx\)
第二項
\(z=Re^{i\theta}\) で0になることを示す。
\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\biggr|\)
\(\leq \displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{|3e^{iz}-e^{3iz}-2|}{|4 z^3|}|dz|\)
\(\leq \displaystyle\frac{|3e^{iz}-e^{3iz}-2|}{4 R^3}\cdot \pi R\)
\(=0\) ※\(R\to\infty\)
第四項
\(z=re^{i\theta}\) とおいて計算する。(\(r\to 0\))
\(\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\)
\(=\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{3(1+iz+\frac{(iz)^2}{2!}+\cdots)-(1+3iz+\frac{(3iz)^2}{2!}+\cdots)-2}{4 r^3 e^{3i\theta}} ire^{i\theta} d\theta\)
\(=i\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{3z^2+\cdots}{4 r^2 e^{2i\theta}} d\theta\) ※ここでうまく消すため\(-2\)を入れた
\(=-i\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{3 r^2 e^{2i\theta}}{4 r^2 e^{2i\theta}} d\theta\) 分子第2項以降はrが3次以上より、\(r\to 0\)で\(0\)に行く。
\(=-i\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{3}{4}d\theta\)
\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\pi i\)
まとめ
以上のことを①の等式に代入すると
\(2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx-\displaystyle\frac{3}{4}\pi i=0\)
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\displaystyle\frac{3}{8}\pi\)