複素積分問題7

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問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx\)

複素積分問題1

 問題   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 思考この積分は有名な積分で、ディリクレ積分と呼ばれます。原点を避けるような経路を取ります。 計算  この経路を考え

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と似た感じの問題です。

解答

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3\sin x-\sin 3x}{4 x^3} dx\)

\(f(z)=\displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3}\)　とおく。（\(-2\)を入れたのは後でわかる）

この経路で考えると留数定理より（\(R\to \infty\)、\(r\to 0\)として）

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\)

\(+\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz=0\)　\(\cdots\)　①

第一項と第三項

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx\)

\(=-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{-ix}-e^{-3ix}-2}{4 x^3} dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{3e^{ix}-e^{3ix}-2}{4 x^3} dx\)　　

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-2i\sin 3x+6i\sin x}{4 x^3} dx\)　

\(=2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx\)　

第二項

\(z=Re^{i\theta}\) で0になることを示す。

\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\biggr|\)

\(\leq \displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{|3e^{iz}-e^{3iz}-2|}{|4 z^3|}|dz|\)

\(\leq  \displaystyle\frac{|3e^{iz}-e^{3iz}-2|}{4 R^3}\cdot \pi R\)

\(=0\)　　※\(R\to\infty\)

第四項

\(z=re^{i\theta}\) とおいて計算する。（\(r\to 0\)）

\(\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{3e^{iz}-e^{3iz}-2}{4 z^3} dz\)

\(=\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{3(1+iz+\frac{(iz)^2}{2!}+\cdots)-(1+3iz+\frac{(3iz)^2}{2!}+\cdots)-2}{4 r^3 e^{3i\theta}} ire^{i\theta} d\theta\)　　

\(=i\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{3z^2+\cdots}{4 r^2 e^{2i\theta}} d\theta\)　　※ここでうまく消すため\(-2\)を入れた

\(=-i\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{3 r^2 e^{2i\theta}}{4 r^2 e^{2i\theta}} d\theta\)　　分子第2項以降はrが3次以上より、\(r\to 0\)で\(0\)に行く。

\(=-i\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{3}{4}d\theta\)

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\pi i\)

まとめ

以上のことを①の等式に代入すると

\(2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx-\displaystyle\frac{3}{4}\pi i=0\)　

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3} dx=\displaystyle\frac{3}{8}\pi\)