複素積分問題9

複素積分問題
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問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)

 

以下と同じ問題です。(複素積分の方法で解いてみようという感じです。)

積分問題51番
積分問題51番 \(n\geq 2\)の自然数。 思考どうしていいか難しいですが、今回は被積分関数を\(t=\displaystyle\frac{1}{x^n+1}\)  と置きます。 \(dt=-(x^n+1)^{-...

 

解答

 

上の経路で積分する。扇形のなす角度は\(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\)です。留数定理より

 

\(\displaystyle\int_{C_{1}}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_{2}}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_{3}}f(z)dz=2\pi i\times (留数和)\)

 

 

第一項

\(\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{dz}{z^n+1}=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)

 

第二項

\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{dz}{z^n+1}\biggr|\leq \displaystyle\int_{C_{2}} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^n+1}\biggr||dz|\leq \displaystyle\frac{2\pi R}{n R^n}\to 0\) (\(n\geq 2\)より)

 

第三項

\(z=e^{\frac{2\pi i}{n}}x\) として

 

\(\displaystyle\int_{C_{3}} \displaystyle\frac{dz}{z^n+1}=\displaystyle\int_{\infty}^{0} \displaystyle\frac{e^{\frac{2\pi i}{n}}}{x^n+1}dx=-e^{\frac{2\pi i}{n}}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)

 

右辺

扇形の中の極は\(z=e^{\frac{\pi i}{n}}\) のみなので

 

\(2\pi i \mathrm{Res}[f(z) , e^{\frac{\pi i}{n}}]=2\pi i\displaystyle\frac{1}{n(e^{\frac{\pi i}{n}})^{n-1}}\)\(=-\displaystyle\frac{2\pi i}{n}e^{-\frac{\pi i}{n}}\)

 

まとめ

求める値を\(I\)とすると

 

\((1-e^{\frac{2\pi i}{n}})I=-\displaystyle\frac{2\pi i}{n}e^{-\frac{\pi i}{n}}\)

 

\(I=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}=\displaystyle\frac{2\pi i}{n}\cdot\displaystyle\frac{e^{-\frac{\pi i}{n}}}{e^{\frac{2\pi i}{n}}-1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{n}\cdot\displaystyle\frac{2i}{e^{\frac{\pi i}{n}}-e^{-\frac{\pi i}{n}}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}\)

 

 

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