[mathjax]
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)
以下と同じ問題です。（複素積分の方法で解いてみようという感じです。）
解答
上の経路で積分する。扇形のなす角度は\(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\)です。留数定理より
\(\displaystyle\int_{C_{1}}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_{2}}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_{3}}f(z)dz=2\pi i\times (留数和)\)
第一項
\(\displaystyle\int_{C_{1}} \displaystyle\frac{dz}{z^n+1}=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)
第二項
\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{dz}{z^n+1}\biggr|\leq \displaystyle\int_{C_{2}} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^n+1}\biggr||dz|\leq \displaystyle\frac{2\pi R}{n R^n}\to 0\) （\(n\geq 2\)より）
第三項
\(z=e^{\frac{2\pi i}{n}}x\) として
\(\displaystyle\int_{C_{3}} \displaystyle\frac{dz}{z^n+1}=\displaystyle\int_{\infty}^{0} \displaystyle\frac{e^{\frac{2\pi i}{n}}}{x^n+1}dx=-e^{\frac{2\pi i}{n}}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)
右辺
扇形の中の極は\(z=e^{\frac{\pi i}{n}}\) のみなので
\(2\pi i \mathrm{Res}[f(z) , e^{\frac{\pi i}{n}}]=2\pi i\displaystyle\frac{1}{n(e^{\frac{\pi i}{n}})^{n-1}}\)\(=-\displaystyle\frac{2\pi i}{n}e^{\frac{\pi i}{n}}\)
まとめ
求める値を\(I\)とすると
\((1-e^{\frac{2\pi i}{n}})I=-\displaystyle\frac{2\pi i}{n}e^{\frac{\pi i}{n}}\)
\(I=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}=\displaystyle\frac{2\pi i}{n}\cdot\displaystyle\frac{e^{\frac{\pi i}{n}}}{e^{\frac{2\pi i}{n}}-1}\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{n}\cdot\displaystyle\frac{2i}{e^{\frac{\pi i}{n}}-e^{-\frac{\pi i}{n}}}\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}\)
