[mathjax]
2007年 京大乙第一問(1)
小問集合の1番として定積分問題が出題されました。
※甲と乙で問題が分かれていたそう。乙の問題になります。
入試の積分問題一覧はこちら
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)
解答
分子を分割する。そのあとはそれぞれ計算するだけになります。
\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx+\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\)
第一項
\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx\)
\(=\biggl[2\sqrt{x^2+4}\biggr]_{0}^{2}\)
※この積分はかたまり部分に\(x^2\)があって外に\(x\)があるからうまくできるな。と考えてる。係数はつじつま合うように調整する。
難しいなら\(t=\sqrt{x^2+4}\)でやる。
\(=4\sqrt{2}-4\)
第二項
分母の根号から \(x=2\tan\theta\)とおく。
\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4(1+\tan^2\theta)}}\cdot \displaystyle\frac{2}{\cos^2 \theta}d\theta\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{\cos\theta}{\cos^2 \theta} d\theta\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\) ※ \(t=\sin\theta\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr)dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|\biggr]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr|\)
\(=\log(\sqrt{2}+1)\)
まとめ
第一項と第二項をまとめると答えは以下のように成る。
\(4\sqrt{2}-4+\log(\sqrt{2}+1)\)
結果
\(4\sqrt{2}-4+\log(\sqrt{2}+1)\)
