2012年 京大第一問(2)

入試問題
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2012年 京大第一問(2)

前年度に引き続き、小問集合の2番として定積分問題が出題されました。

 

入試の積分問題一覧はこちら

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問題

\(\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{1}{x^2}\log\sqrt{x^2+1}dx\)

 

 

 

解答

根号の中の形から \(x=\tan\theta\) と考える人が多いでしょう。

しかし、今回それではうまくいきません。

\(\log \sqrt{x^2+1}\) を微分する。つまり、部分積分をする。

 

 

\(\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{1}{x^2}\log\sqrt{x^2+1}dx\)

 

\(=\biggl[-\displaystyle\frac{1}{x}\log\sqrt{x^2+1}\biggr]_{1}^{\sqrt{3}}-\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} -\displaystyle\frac{1}{x} \cdot\displaystyle\frac{x}{x^2+1} dx\)

 

※\(\log\sqrt{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+1)\) にしてから微分する。

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\log 2+\log\sqrt{2}+\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)\log 2+\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta\)

※後半は\(x=\tan\theta\)とおいた。 

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)\log 2+\displaystyle\frac{\pi}{12}\)

 

結果

\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)\log 2+\displaystyle\frac{\pi}{12}\)

 

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