[mathjax]
2019年 京大第一問(2)
小問集合の2番として定積分問題が2問出題されました。
入試の積分問題一覧はこちら
問題
1番
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{x}{\cos^2 x}dx\)
2番
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)
解答
1番
方針としては部分積分です。\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)がすぐ積分できることに気づいて、\(x\)もあるので部分積分かなと気付きたいです。
分子分母にきれいに分かれてるから、見えないと沼にはまるかもしれない。
ですが、それさえわかれば後は計算するだけになります。
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{x}{\cos^2 x}dx\)
\(=\biggl[x\tan x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x dx\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{(\cos x)’}{\cos x} dx\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\biggl[\log|\cos x|\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}\log 2\)
2番
基本問題です。計算ミスしないようにだけ注意する。
以下の問題も参考に ※\(\cos x\)と\(\sin x\)で違うけど大体やることは同じ
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt
{2}}} \displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\)
※ \(t=\sin x\)とおいた。
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt
{2}}} \biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr)dt\)
※部分分数分解
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|\biggr]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr|\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sqrt{2}+1|^2\)
\(=\log(1+\sqrt{2})\)
結果
1番 \(\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}\log 2\)
2番 \(\log(1+\sqrt{2})\)
