[mathjax]
2019年 東北大第五問(1)
小問集合の1番として出題された定積分問題です。
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問題
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \sin^2 (\pi x)dx=\displaystyle\frac{1}{2}\) を示せ。
解答
対称性を利用することに気づけば解ける。気づけないと解けない。
対称
\(I=\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx\) とおく。
\(t=-x\) で置き換えると
\(I=\displaystyle\int_{1}^{-1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi t)}{1+e^{-t}} -dt\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^t \sin^2(\pi t)}{e^t+1} dt\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x \sin^2(\pi x)}{e^x+1} dx\)
※変数は\(t\)から\(x\)に変えた（上の置換は関係ない）
計算続き
\(2I=\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x \sin^2(\pi x)}{e^x+1} dx\) と書けるので
\(I=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x \sin^2(\pi x)}{e^x+1} dx\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{(1+e^x)\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}\sin^2 (\pi x)dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \sin^2 (\pi x)dx\)
※\(\sin^2 (\pi x)\)が偶関数だから
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1-\cos 2\pi x}{2}dx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4\pi}\sin 2\pi x\biggr]_{0}^{1}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)
よって示された。
