2019年 東北大第五問(1)

入試問題
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2019年 東北大第五問(1)

小問集合の1番として出題された定積分問題です。

 

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404 NOT FOUND | 桔梗のブログ

 

問題

\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx=\displaystyle\int_{0}^{1} \sin^2 (\pi x)dx=\displaystyle\frac{1}{2}\) を示せ。

 

 

解答

対称性を利用することに気づけば解ける。気づけないと解けない。

 

対称

\(I=\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx\) とおく。

 

\(t=-x\) で置き換えると

 

\(I=\displaystyle\int_{1}^{-1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi t)}{1+e^{-t}} -dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^t \sin^2(\pi t)}{e^t+1} dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x \sin^2(\pi x)}{e^x+1} dx\)

※変数は\(t\)から\(x\)に変えた(上の置換は関係ない)

 

計算続き

\(2I=\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x \sin^2(\pi x)}{e^x+1} dx\) と書けるので

 

\(I=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x \sin^2(\pi x)}{e^x+1} dx\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{(1+e^x)\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}\sin^2 (\pi x)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \sin^2 (\pi x)dx\)

※\(\sin^2 (\pi x)\)が偶関数だから

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1-\cos 2\pi x}{2}dx\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4\pi}\sin 2\pi x\biggr]_{0}^{1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

よって示された。

 

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