2019年 東大数学第一問

入試問題
スポンサーリンク

[mathjax]

 

404 NOT FOUND | 桔梗のブログ

 

問題

2019年の東大数学第一問です。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \biggl(x^2+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\biggr)\biggl(1+\displaystyle\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\biggr)dx\)

 

 

方針

分解して一つずつ計算していく。

うまいやり方があるかもしれないが、入試ではそのような余裕もなかなかないだろうから素直に展開していくことになると思う。

 

 

 

 

解答

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \biggl(x^2+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\biggr)\biggl(1+\displaystyle\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 dx+\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx+\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^3}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}dx+\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx\)

 

第一項

\(\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 dx=\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3\biggr]_{0}^{1}\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\)

 

第二項

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\biggl[\sqrt{x^2+1}\biggr]_{0}^{1}\)\(=\sqrt{2}-1\)

 

第三項

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^3}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x(x^2+1)-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)

 

\(=\sqrt{2}-1+\biggl[\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\biggr]_{0}^{1}\)  

※第一項は上の結果を利用

 

\(=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}-2\)

 

第四項

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{\tan^2 \theta}{(\tan^2\theta+1)^2}\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\)

※ \( x=\tan\theta\) と置いた。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)

※半角公式使用後、積分した

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

まとめ

第一項から第四項までまとめると結果は以下のようになる。

\(\displaystyle\frac{1}{3}+\sqrt{2}-1+\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}-2+\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

\(=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{35}{12}\)

 

 

タイトルとURLをコピーしました