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問題
2019年の東大数学第一問です。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \biggl(x^2+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\biggr)\biggl(1+\displaystyle\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\biggr)dx\)
方針
分解して一つずつ計算していく。
うまいやり方があるかもしれないが、入試ではそのような余裕もなかなかないだろうから素直に展開していくことになると思う。
解答
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \biggl(x^2+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\biggr)\biggl(1+\displaystyle\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\biggr)dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 dx+\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx+\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^3}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}dx+\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx\)
第一項
\(\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 dx=\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3\biggr]_{0}^{1}\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\)
第二項
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\biggl[\sqrt{x^2+1}\biggr]_{0}^{1}\)\(=\sqrt{2}-1\)
第三項
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^3}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x(x^2+1)-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)
\(=\sqrt{2}-1+\biggl[\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\biggr]_{0}^{1}\)
※第一項は上の結果を利用
\(=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}-2\)
第四項
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{\tan^2 \theta}{(\tan^2\theta+1)^2}\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\)
※ \( x=\tan\theta\) と置いた。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
※半角公式使用後、積分した
\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}\)
まとめ
第一項から第四項までまとめると結果は以下のようになる。
\(\displaystyle\frac{1}{3}+\sqrt{2}-1+\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}-2+\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}\)
\(=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{8}-\displaystyle\frac{35}{12}\)
