[mathjax]
積分問題101番
問題
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)
思考
いろいろなやり方があります。三角関数の合成を利用しても解ける（解１）。
解答１
三角関数の合成で解きます。まず、分母を合成する。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt 2\sin \biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}dx\)
ここで、\(x=t-\displaystyle\frac{\pi}{4}\)と置換します。
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin \biggl(t-\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}{\sin t}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin t\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos t\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\sin t}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\biggl(1-\displaystyle\frac{\cos t}{\sin t}\biggr)dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}t-\displaystyle\frac{1}{2}\log(\sin t)+C\)
変数を\(x\)に戻すと
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)
ここで、定数部分は積分定数に組み込めるので答えは以下のようになる。
\(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)
解答２
三角関数積分の王道の\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をします。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}+\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-4t}{(t^2-2t-1)(t^2+1)}dt\)
\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{-t+1}{t^2-2t-1}+\displaystyle\frac{t+1}{t^2+1}\biggr)dt\) ※部分分数分解
\(=\displaystyle\int\biggl(-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2(t-1)}{t^2-2t-1}+\displaystyle\frac{t}{t^2+1}+\displaystyle\frac{1}{t^2+1}\biggr)dt\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log|t^2-2t-1|+\displaystyle\frac{1}{2}\log|t^2+1|+\tan^{-1} t+C \) ※積分実行
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{\tan^2 \frac{x}{2}-2\tan\frac{x}{2}-1}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}\biggr|+\displaystyle\frac{x}{2}+C\) ※\(t\)を元に戻す
\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2 \frac{x}{2}|+C\) ※分子分母に\(\cos^2 \frac{x}{2}\)をかけた。
\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sin x+\cos x|+C\) ※二倍角、半角使って整理。
\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)
解答3
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan x}{\tan x+1}dx\)
\(t=\tan x\) とする。
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t}{t+1}\cdot \displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)
\(\displaystyle\int\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2(t+1)}+\displaystyle\frac{1+t}{2(1+t^2)}\biggr]dt\) ※部分分数分解
\(\displaystyle\int\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2(t+1)}+\displaystyle\frac{1}{2(1+t^2)}+\displaystyle\frac{t}{2(1+t^2)}\biggr]dt\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log|t+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{1}{4}\log(t^2+1)+C\) ※積分実行
\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\log\displaystyle\frac{(1+\tan x)^2}{1+\tan^2 x}+C\) ※\(t\)を元に戻す
\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\log(\sin x+\cos x)^2+C\) ※分子分母に\(\cos^2 x\)をかけた。
\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin \biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\) ※\(-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sqrt 2\)は積分定数に組み込んだ。
答え
\(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)
