[mathjax]
問題
\(n\)は自然数です。
思考
\(n\)が入っているので漸化式形式になるのかなという発想はあるかもしれません。
漸化式使って解きますが、変形が所々難しいかもしれません。
計算
\(I(n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{\sin nx}{\sin x}dx\)とおく。
\(I(n+2)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{\sin (n+2)x}{\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{\sin (n+1)x\cos x+\cos(n+1)x\sin x}{\sin x}dx\)
※\(n+2=(n+1)+1\)として加法定理適用。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{\sin (n+1)x\cos x}{\sin x}dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(n+1) xdx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(\sin nx\cos x+\cos nx\sin x)\cos x}{\sin x} dx+\biggl[\displaystyle\frac{\sin(n+1) x}{n+1}\biggr]_{0}^{\pi}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{\sin nx(1-\sin^2 x)+\cos nx\sin x\cos x}{\sin x} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{\sin nx}{\sin x}dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi} (\cos nx\cos x-\sin nx\sin x)dx\)
\(=I(n)+\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos(n+1)x dx\) ※加法定理
\(=I(n)+\biggl[\displaystyle\frac{\sin(n+1)x}{n+1}\biggr]_{0}^{\pi}\)
\(=I(n)\)
\(I(n+2)=I(n)\)が成立する。
\(I(1)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x}dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi} dx=\pi\)
\(I(2)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{\sin 2x}{\sin x}dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi} 2\cos x dx=\biggl[2\sin x\biggr]_{0}^{\pi}=0\)
よって\(n\)が偶数の時
\(I(n)=I(n-2)=\cdots =I(2)=\)\(0\)
\(n\)が奇数の時
\(I(n)=I(n-2)=\cdots =I(1)=\)\(\pi\)
答え
\(I(n)=0\)（nが偶数）、\(I(n)=\pi\) （nが奇数）
