積分問題108番

積分問題
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[mathjax]

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx\)

 

解答

統計力学のゾンマーフェルト展開の途中などで出てくる積分です。ちなみに、$x^2$を$x^n$にしても同じようにできる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(-\displaystyle\frac{1}{e^x+1}\right) dx\)

 

\(=\left[x^2\cdot \displaystyle\frac{-1}{e^x+1}\right]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x}{e^x+1}dx\)

※部分積分しました。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x}{e^x(1+e^{-x})}dx\)

※第一項は消える。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x}{e^x} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-e^{-x})^n dx\)

※数列の公式を利用

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} 2x \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-(n+1)x} dx\)

 

\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-nx}dx\)

※$n$を1つずらした。

 

\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left\{\left[\displaystyle\frac{-xe^{-nx}}{n}\right]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n}dx  \right\}\)

 

\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left[\displaystyle\frac{-e^{-nx}}{n^2}\right]_{0}^{\infty}\)

 

\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\times\displaystyle\frac{1}{n^2}\)

 

\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\)

 

\(=2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{(2n)^2}\right)\)

※展開して具体的に書いてみると分かりやすいかもです。

 

\(=2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)

※最後はバーゼル問題を利用

 

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