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問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx\)
解答
統計力学のゾンマーフェルト展開の途中などで出てくる積分です。ちなみに、$x^2$を$x^n$にしても同じようにできる。
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^2\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(-\displaystyle\frac{1}{e^x+1}\right) dx\)
\(=\left[x^2\cdot \displaystyle\frac{-1}{e^x+1}\right]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x}{e^x+1}dx\)
※部分積分しました。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x}{e^x(1+e^{-x})}dx\)
※第一項は消える。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x}{e^x} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-e^{-x})^n dx\)
※数列の公式を利用
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} 2x \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-(n+1)x} dx\)
\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-nx}dx\)
※$n$を1つずらした。
\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left\{\left[\displaystyle\frac{-xe^{-nx}}{n}\right]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n}dx \right\}\)
\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left[\displaystyle\frac{-e^{-nx}}{n^2}\right]_{0}^{\infty}\)
\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\times\displaystyle\frac{1}{n^2}\)
\(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\)
\(=2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{(2n)^2}\right)\)
※展開して具体的に書いてみると分かりやすいかもです。
\(=2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)
※最後はバーゼル問題を利用
