積分問題110番

積分問題
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[mathjax]

 

問題

 

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$

 

 

解答

 

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$

 

$=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{s-1}}{e^x(1-e^{-x})}dx$

 

$=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx} dx$

 

$=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{s-1}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx} dx$

※指数部分組み込んだ。ここで、$y=nx$とおく。

 

$=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-y} \left(\displaystyle\frac{y}{n}\right)^{s-1} \displaystyle\frac{dy}{n}$

 

$=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^s} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-y} y^{s-1} dy$

 

$=\Gamma(s)\zeta(s)$

 

というようにガンマ関数とゼータ関数の積の形になる。

 

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