[mathjax]
積分問題12番
思考
分子と分母に\(x^2+1\)があるので、これらを固めます。（かたまりとみる感じ）
計算
分子を分解して計算していきます。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^2+x+1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{(x^2+1)+x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\) （分子を分解）
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\displaystyle\frac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})\biggr]_{0}^{1}+\biggl[\sqrt{x^2+1}\biggr]_{0}^{1}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}+\displaystyle\frac{\log(1+\sqrt2)}{2}+\sqrt2-1\)
\(=\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-1+\displaystyle\frac{\log(1+\sqrt2)}{2}\)
※\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x^2+1}dx\) の積分に関しては以下参照。
答え
\(\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-1+\displaystyle\frac{\log(1+\sqrt2)}{2}\)
