積分問題14番

積分問題
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積分問題14番

 

 

思考

三角関数の積分なので、\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をします。

 

ワイエルシュトラス置換
今日は三角関数の積分の話です。 ワイエルシュトラス置換名前は聞いたことなくても知っている人多いと思います。\( t = \tan \displaystyle\frac{x}{2}\)  と置くあれです。これを使うと三角関数の積...

 

計算1

置換を実行すると、問題の積分は

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1+\sin x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}{1+\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}\dot\displaystyle\frac{2dt}{1+t^2}\)

 

 

 \(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{4t}{(t^2+1)(t+1)^2}dt\)

 

部分分数分解をすると、以下のようになります。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)

 

前半

変数を\(x\)に戻します。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}\dot\displaystyle\frac{dx}{2\cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}}\)

 

\(=x+C\)

 

後半

\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{t+1}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{1+\tan\displaystyle\frac{x}{2}}+C\)

 

まとめ

まとめると答えは以下のようになる。

\(x+\displaystyle\frac{2}{1+\tan\displaystyle\frac{x}{2}}+C\) 

 

 

計算2

分子分母に \(1-\sin x\) をかける。分割せずに書けてもよい。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1+\sin x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{1+\sin x}\biggr)dx\)

 

\(=x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx\)

 

\(=x-\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}\biggr)dx\)

 

\(=x-\tan x+\displaystyle\frac{1}{\cos x}+C\)

 

これも変形すると上と同じ答えになる。※もちろん、このまま答えとしてよい。

 

答え

\(x+\displaystyle\frac{2}{1+\tan\displaystyle\frac{x}{2}}+C\) 

 

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