[mathjax]
積分問題14番
思考
三角関数の積分なので、\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をします。
計算1
置換を実行すると、問題の積分は
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}{1+\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}\dot\displaystyle\frac{2dt}{1+t^2}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{4t}{(t^2+1)(t+1)^2}dt\)
部分分数分解をすると、以下のようになります。
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)
前半
変数を\(x\)に戻します。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}\dot\displaystyle\frac{dx}{2\cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}}\)
\(=x+C\)
後半
\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)
\(=\displaystyle\frac{2}{t+1}+C\)
\(=\displaystyle\frac{2}{1+\tan\displaystyle\frac{x}{2}}+C\)
まとめ
まとめると答えは以下のようになる。
\(x+\displaystyle\frac{2}{1+\tan\displaystyle\frac{x}{2}}+C\)
計算2
分子分母に \(1-\sin x\) をかける。分割せずに書けてもよい。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{1+\sin x}\biggr)dx\)
\(=x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx\)
\(=x-\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}\biggr)dx\)
\(=x-\tan x+\displaystyle\frac{1}{\cos x}+C\)
これも変形すると上と同じ答えになる。※もちろん、このまま答えとしてよい。
答え
\(x+\displaystyle\frac{2}{1+\tan\displaystyle\frac{x}{2}}+C\)
