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積分問題17番
思考
最初に分母を平方完成します。そして置き換えです。
計算1
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x+1)+3}{(x+1)^2+4}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t+3}{t^2+4}dt\) \(\cdots\) \(t=x+1\) と置き換える
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t}{t^2+4}dt+\displaystyle\int\displaystyle\frac{3}{t^2+4}dt\) （分子を分解した）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(t^2+4)+3\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1}\displaystyle\frac{t}{2}+C\)
置き換えたので元に戻します。
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+2x+5)+\displaystyle\frac{3}{2}\tan^{-1}\displaystyle\frac{x+1}{2}+C\)
計算2
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x+2+6}{x^2+2x+5}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{6}{(x+1)^2+2^2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+2x+5)+\displaystyle\frac{3}{2}\tan^{-1} \displaystyle\frac{x+1}{2}+C\)
第二項は以下を使った。
答え
\(\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+2x+5)+\displaystyle\frac{3}{2}\tan^{-1}\displaystyle\frac{x+1}{2}+C\)
