[mathjax]
積分問題2番
思考
\(e^x\)関連の積分なので、置換することを考えると思います。
置換しなくても今回はうまく解けます。
計算1
まずは分子分母に\(e^x\)をかけます。
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}\)
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{e^x}{e^{x}+1}dx\)
\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{(e^{x}+1)’}{e^{x}+1}dx\)
\(= \log (e^x+1) +C\)
計算2
\(t=e^x\)とおく。
\(dt=e^x dx=tdx\)なので、\(dx=\displaystyle\frac{dt}{t}\)
よって
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{t}}\cdot \displaystyle\frac{dt}{t}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}=\log|t+1|+C\)
\(=\log (e^x+1)+C\)
答え
\(\log (e^x+1)+C\)
