[mathjax]
積分問題27番
思考
三角関数の積分なので \( t= \tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。
計算1
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}}{1+\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\) ※分子分母を \( t^2+1\) をかける。
\(=-\displaystyle\frac{2}{t+1}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{2}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}+C\)
計算2
分子分母に \((1-\sin x)\) をかける。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx\)
\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}\biggr)dx\)
\(=\tan x-\displaystyle\frac{1}{\cos x}+C\)
変形したら上と同じ答えになる。※もちろんこのままの答えで良い。
計算3
この方法は普通は思い浮かばないと思う。
\(1=\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\)として解く。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+\sin x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}+2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\biggl(\sin\displaystyle\frac{x}{2}+\cos\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)^2}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)^2}\) \(\cdots\) 三角関数の合成
\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}+C\) \(\cdots\) 公式。係数とかややこしいですが。
答え
\(-\displaystyle\frac{2}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}+C\)
