[mathjax]
積分問題28番
思考
とりあえず根号が扱いづらいので \( t=\sqrt{\tan x}\) とおく。
計算
\( dt=\displaystyle\frac{1}{2}(\tan x)^{-\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1+t^4}{2t}dx\)
これらから、\(t\)に関する積分に変換。
\(\displaystyle\int\sqrt{\tan x} dx\)
\(=2\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{t^4+1}dt\)
の結果を利用します。
\(=\displaystyle\frac{\sqrt2}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{t^2-\sqrt{2}t+1}{t^2+\sqrt{2}t+1}\biggr)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2}t-1)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2}t+1)+C\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt2}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{\tan x-\sqrt{2\tan x}+1}{\tan x+\sqrt{2\tan x}+1}\biggr)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}-1)\)
\(+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}+1)+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{\sqrt2}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{\tan x-\sqrt{2\tan x}+1}{\tan x+\sqrt{2\tan x}+1}\biggr)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}-1)\)
\(+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}+1)+C\)
