積分問題29番

積分問題
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積分問題29番

 

 

 

思考

分母を平方完成して、置き換える。

 

 

計算1

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2-2x+2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x-1)+1}{(x-1)^2+1}dx\)

 

\( u=x-1\)  とおく。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{u}{u^2+1}du+\displaystyle\int\displaystyle\frac{du}{u^2+1}\)  (分子を分割した。)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(u^2+1)+\tan^{-1} u+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2-2x+2)+\tan^{-1} (x-1)+C\)  (変数を戻す)

 

計算2

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2-2x+2}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-2+2}{x^2-2x+2}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-2}{x^2-2x+2}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(x-1)^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2-2x+2)+\tan^{-1} (x-1)+C\)

 

第二項は以下を使った。

分母が二次式の積分
 分母が二次式の積分\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+cx+d}\) を考える。分母の二次式の判別式が負の時。判別式が正の時は因数分解して部分分数分解。  ...

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2-2x+2)+\tan^{-1} (x-1)+C\)

 

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