[mathjax]
積分問題29番
思考
分母を平方完成して、置き換える。
計算1
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2-2x+2}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x-1)+1}{(x-1)^2+1}dx\)
\( u=x-1\) とおく。
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{u}{u^2+1}du+\displaystyle\int\displaystyle\frac{du}{u^2+1}\) （分子を分割した。）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(u^2+1)+\tan^{-1} u+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2-2x+2)+\tan^{-1} (x-1)+C\) （変数を戻す）
計算2
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2-2x+2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-2+2}{x^2-2x+2}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-2}{x^2-2x+2}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(x-1)^2+1}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2-2x+2)+\tan^{-1} (x-1)+C\)
第二項は以下を使った。
答え
\(\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2-2x+2)+\tan^{-1} (x-1)+C\)
