積分問題31番

積分問題
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積分問題31番

 

 

 

思考

三角関数の積分ということなので \(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。

 

 

計算1

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x+\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}+\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1+2t-t^2}dt\)

 

\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-2t-1}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-\sqrt2-1)}+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t+\sqrt2-1)}\)  (部分分数分解)

  

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\log|t-\sqrt2-1|+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\log|t+\sqrt2-1|+C\)

 

 \(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}+\sqrt2-1\biggr|-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}-\sqrt2-1\biggr|+C\)

 

計算2

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x+\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin \biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\log\biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr|+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}+\sqrt2-1\biggr|-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}-\sqrt2-1\biggr|+C\)

 

※形は違いますが、計算1の答えと計算2の答えは同値です。以下変形。

 

\(\log\biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr|\)

 

\(=\log\Biggl|\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\tan\displaystyle\frac{\pi}{8}}{1-\tan\displaystyle\frac{x}{2}\tan\displaystyle\frac{\pi}{8}}\Biggr|\)

 

\(=\log\Biggl|\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\tan\displaystyle\frac{\pi}{8}}{1-\tan\displaystyle\frac{x}{2}\tan\displaystyle\frac{\pi}{8}}\Biggr|\)

 

\(=\log\Biggl|\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\sqrt{2}-1}{-(\sqrt{2}-1)\biggl[\tan\displaystyle\frac{x}{2}-(\sqrt{2}+1)\biggr]}\Biggr|\)

 

\(=\log\Biggl|\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{x}{2}+\sqrt{2}-1}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}-\sqrt{2}-1}\Biggr|+\log(\sqrt{2}-1)\)

 

定数部分は積分定数に組み込めるので同じになる。

 

\(\tan\displaystyle\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\) は半角公式から計算する。

 

 

 

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