[mathjax]
積分問題33番
思考
形からの連想ですが、対称性を利用する積分です。
計算
\(I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\) とおきます。
\(J=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx\) とおく。
\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\) とおくと
\(J=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\displaystyle\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}(-dt)\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=I\)
よって \(I=J\)
また、 \(I+J=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)なので
\(I=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
答え
\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
