[mathjax]
積分問題35番
思考
全体が根号の分数型は全体を置き換えます。
計算
\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}\) とおく。
\(x=\displaystyle\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
\(dx=\displaystyle\frac{4t}{(1-t^2)^2}dt\)
代入して計算する。
\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt\)
\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{(t^2-1)+1}{(t^2-1)^2}dt\)
\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-1}\)\(+4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2-1)^2}\)
第一項
\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-1}\)
\(=2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-1}-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}\)
第二項
\(4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2-1)^2}\)
\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)^2(t+1)^2}\)
部分分数分解します。（計算大変ですが）
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t+1)^2}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)^2}\)
第一項と第二項を合わせる
\(=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t+1)^2}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)^2}\)
\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|-\displaystyle\frac{1}{t+1}-\displaystyle\frac{1}{t-1}+C\)
\(=\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}|+C\)
答え
\(=\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}|+C\)
