[mathjax]
積分問題36番
問題
解答
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\sin 2 x} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x} dx\)
※ \(1=\sin^2 x+\cos^2 x\)と考える
\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} |\sin x+\cos x|dx\) ※根号外す
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (\sin x+\cos x) d x+\displaystyle\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\pi}-(\sin x+\cos x)dx\)
※絶対値を外す。正と負の部分で分けて考える。
\(=\biggl[-\cos x+\sin x\biggr]_{0}^{\frac{3}{4}\pi}+\biggl[\cos x-\sin x\biggr]_{\frac{3}{4}\pi}^{\pi}\)
\(=2 \sqrt{2}\)
結果
\(2 \sqrt{2}\)
