積分問題36番

積分問題
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積分問題36番

 

問題

 

 

解答

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\sin 2 x} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x} dx\)

※ \(1=\sin^2 x+\cos^2 x\)と考える

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} |\sin x+\cos x|dx\)  ※根号外す

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (\sin x+\cos x) d x+\displaystyle\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\pi}-(\sin x+\cos x)dx\)  

※絶対値を外す。正と負の部分で分けて考える。

 

\(=\biggl[-\cos x+\sin x\biggr]_{0}^{\frac{3}{4}\pi}+\biggl[\cos x-\sin x\biggr]_{\frac{3}{4}\pi}^{\pi}\)

 

\(=2 \sqrt{2}\)

 

結果

\(2 \sqrt{2}\)

 

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