[mathjax]
積分問題38番
思考
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^4 x}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)と考え、三角比の関係性等を利用していく。
計算
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos^4 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int(1+\tan^2 x)\displaystyle\frac{dx}{\cos^2 x}\)
\(t=\tan x\) とおく。（\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)が\(\tan x\) の微分であることを踏まえての置換。）
\(dt=\displaystyle\frac{dx}{\cos^2 x}\) なので
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos^4 x}=\displaystyle\int(1+t^2)dt=\displaystyle\frac{1}{3} t^3+t+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3 x+\tan x+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3 x+\tan x+C\)
