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積分問題40番
思考
部分積分をします。漸化式になります。
解答1
\(I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx\)とする。
\( \sin x\) と \(\sin^{n-1} x\) に分けて考えて部分積分します。
\(=\biggl[-\sin^{n-1} x\cos x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2} x\cos^2 xdx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2} x(1-\sin^2 x)dx\) ※第一項は0
\(=(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2} xdx-(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx\)
\(=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\)
よって変形すると、次のような漸化式が成立する。
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)
\(I_{0}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) で \(I_{1}=1\) なので
\(I(n)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\displaystyle\frac{\pi}{2} & \text{$(nが偶数)$} \\ \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{$(nが奇数)$} \end{cases}\)
!! は二重階乗といい飛ばし飛ばしの階乗。
例、\(6!!=6\times 4\times 2=48\)
解答2
\(B(p,q)=\displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\) を使用。
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2} B\biggl(\displaystyle\frac{1}{2} , \displaystyle\frac{n+1}{2}\biggr)\) ※\(p=\displaystyle\frac{1}{2}\)、\(q=\displaystyle\frac{n+1}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\) ※ガンマ関数に書き換え
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\) ※\(\Gamma(\displaystyle\frac{1}{2}=\sqrt{\pi})\)
以下、\(\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\)等を使って変形していく。偶数奇数で場合分けします。
nが偶数の時
\(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{(n-1)!! \Gamma(\frac{1}{2})}{2^{\frac{n}{2}}}\cdot\displaystyle\frac{2^{\frac{n}{2}}}{n!! }\)
\(=\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
nが奇数の時
\(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n-1}{2}}}\cdot\displaystyle\frac{2^{\frac{n+1}{2}}}{n!! \Gamma(\frac{1}{2})}\)
\(=\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\)
答え
\(I(n)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\displaystyle\frac{\pi}{2} & \text{$(nが偶数)$} \\ \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{$(nが奇数)$} \end{cases}\)
\(\cos x\)の場合
\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\)とおくと
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx\)
\(=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^n \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\biggr) (-dt)\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x dx\)
となるので、\(\cos x\)の場合も同様の結果となる。
