積分問題41番

積分問題
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積分問題41番

 

 

思考

対称性の利用

 

 

計算

\(I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx\)  とおく。

 

対称性を考えて、\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)を作ると以下のような関係がある。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)\(=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\log (\sin t)(-dt)\)     ※ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=I\)

 

これらの和を考える。

 

\(2I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log \displaystyle\frac{\sin 2x}{2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin 2x)dx\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\log(\sin u)du\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)     \(\cdots\) \(u=2x\)とした。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)  

 

※\(\log (\sin x) \)は \( \log (\sin (\pi-x))= \log (\sin x) \)より\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) に関して対称。

 

\(=I-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)

 

よって \(I=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\log 2\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\log 2\)

 

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