[mathjax]
積分問題41番
思考
対称性の利用
計算
\(I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx\) とおく。
対称性を考えて、\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)を作ると以下のような関係がある。
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)\(=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\log (\sin t)(-dt)\) ※ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=I\)
これらの和を考える。
\(2I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log \displaystyle\frac{\sin 2x}{2}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin 2x)dx\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\log(\sin u)du\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\) \(\cdots\) \(u=2x\)とした。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)
※\(\log (\sin x) \)は \( \log (\sin (\pi-x))= \log (\sin x) \)より\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) に関して対称。
\(=I-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)
よって \(I=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\log 2\)
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\log 2\)
