積分問題42番

積分問題
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積分問題42番

 

 

思考

対称性などが利用できそうなので利用してみる。(実際できる。)

 

 

計算

問題の積分を変形する。

 

変形1

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{1}^{-1}\displaystyle\frac{t^2}{1+e^t}(-dt)\)  \(\cdots\) \(x=-t\)  と置き換えた

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{t^2}{1+e^t}dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^x}dx\)  ※変数をxにした。

 

変形2

ここで問題の式の分子分母に\(e^x\) をかけると

 

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x x^2}{1+e^x}dx\)

 

合わせる

赤色と青色の積分を足す。

 

\(2\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^x}dx\)\(+\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x x^2}{1+e^x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2(1+e^x)}{1+e^x}dx=\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2dx=\displaystyle\frac{2}{3}\)

 

よって  \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{3}\)

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