[mathjax]
積分問題42番
計算
対称性を利用していく。問題の積分を変形する。
変形1
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{1}^{-1}\displaystyle\frac{t^2}{1+e^t}(-dt)\) \(\cdots\) \(x=-t\) と置き換えた
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{t^2}{1+e^t}dt\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^x}dx\) ※変数をxにした。
変形2
ここで問題の式の分子分母に\(e^x\) をかけると
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x x^2}{1+e^x}dx\)
合わせる
赤色と青色の積分を足す。
\(2\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^x}dx\)\(+\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^x x^2}{1+e^x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2(1+e^x)}{1+e^x}dx=\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2dx=\displaystyle\frac{2}{3}\)
よって \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{x^2}{1+e^{-x}}dx\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
