[mathjax]
積分問題43番
思考
\(\tan^2 x\)の扱いがわからないのでとりあえず\(t=\tan x\) と、置き換えてみます。
計算
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)であることから、\(dx=\cos^2 x dt=\displaystyle\frac{dt}{1+\tan^2 x}=\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)
よって問題の積分は次のようになる。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1-\tan^2 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1-t^2}\cdot\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)\(+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)（部分分数分解）
前半2項
\(\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\biggr|+C\)
後半
\(\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int dx\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}x+C\)
まとめる
これらを合わせると答えとなり答えは
\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\biggr|+\displaystyle\frac{1}{2}x+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\biggr|+\displaystyle\frac{1}{2}x+C\)
