[mathjax]
積分問題bot46
思考
部分積分します。（\(x’\)）がかかっている考える。
計算
部分積分
\(\displaystyle\int \log(\sqrt x+\sqrt {x+1})dx\)
\(=x \log(\sqrt x+\sqrt {x+1})-\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sqrt x}{2\sqrt{x+1}}dx\) （第二項は整理した）
第二項
ここで \(t=\sqrt{\displaystyle\frac{x}{x+1}}\) とおき、第二項を計算していく。
\(\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\sqrt{\displaystyle\frac{x}{x+1}}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}\biggl[\displaystyle\frac{t}{(t-1)^2}-\displaystyle\frac{t}{(t+1)^2}\biggr]dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}\biggl[\displaystyle\frac{(t-1)+1}{(t-1)^2}-\displaystyle\frac{(t+1)-1}{(t+1)^2}\biggr]dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}\biggl[\displaystyle\frac{1}{t-1}+\displaystyle\frac{1}{(t-1)^2}-\displaystyle\frac{1}{t+1}+\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}\biggr]dt\) ※部分分数分解
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{t+1}+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sqrt{x+1}-\sqrt x|+\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{x(x+1)}+C\) ※変数を戻した
答え
第一項を合わせたのが答え。
\(x \log(\sqrt x+\sqrt {x+1})-\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sqrt{x+1}-\sqrt x|-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{x(x+1)}+C\)
