積分問題47番

積分問題
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積分問題47番

 

 

思考

\(e^x\) 関連なので、普通は(\(=t\)) と置こうかなと考えます。(もちろんそれでもできます)

 

今回は分子を分けて置き換えなくてもできます。(やってること同じですが笑)

 

 

計算1

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^{2x}}dx-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{e^{2x}}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{e^x}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{e^{2x}}\)

 

\(=-e^{-x}+\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+\displaystyle\frac{1}{2e^{2x}}+C\)

 

計算2

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x-1}{e^{2x}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t-1}{t^2}\displaystyle\frac{dt}{t}\)    \(\cdots\) \(t=e^x\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t^2}-\displaystyle\frac{1}{t^3}\biggr)dt\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{t}+\displaystyle\frac{1}{2t^2}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+\displaystyle\frac{1}{2e^{2x}}+C\)

 

答え

\(-\displaystyle\frac{1}{e^x}+\displaystyle\frac{1}{2e^{2x}}+C\)

 

 

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