[mathjax]
積分問題47番
思考
\(e^x\) 関連なので、普通は（\(=t\)） と置こうかなと考えます。（もちろんそれでもできます）
今回は分子を分けて置き換えなくてもできます。（やってること同じですが笑）
計算1
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^{2x}}dx-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{e^{2x}}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{e^x}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{e^{2x}}\)
\(=-e^{-x}+\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+\displaystyle\frac{1}{2e^{2x}}+C\)
計算2
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x-1}{e^{2x}}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t-1}{t^2}\displaystyle\frac{dt}{t}\) \(\cdots\) \(t=e^x\)
\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t^2}-\displaystyle\frac{1}{t^3}\biggr)dt\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{t}+\displaystyle\frac{1}{2t^2}+C\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+\displaystyle\frac{1}{2e^{2x}}+C\)
答え
\(-\displaystyle\frac{1}{e^x}+\displaystyle\frac{1}{2e^{2x}}+C\)
