[mathjax]
積分問題49番
問題
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\) という問題です。
解答
誤答
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}=\biggl[-\displaystyle\frac{1}{x}\biggr]_{-1}^{1}=-2\)
という計算は間違いです。理由は\(x=0\)の部分で関数が定義できない、発散しているからです。
正答
なので正しい計算は以下のようになります。
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}=\displaystyle\int_{-1}^{0}\displaystyle\frac{dx}{x^2}+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\)
\(=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\) （グラフは\(y\)軸対称より、第一項と第二項が同じ値になるため）
\(=2\displaystyle\lim_{t\to +0}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\) （極限を使用。）
\(=2\displaystyle\lim_{t\to +0}\biggl[-\displaystyle\frac{1}{x}\biggr]_{t}^{1}\)
\(=2\displaystyle\lim_{t\to +0}\biggl(\displaystyle\frac{1}{t}-1\biggr)\)
\(=\infty\)
となり、答えは発散します。または、積分できない、となります。
グラフ
\(y=\displaystyle\frac{1}{x^2}\)のグラフイメージ。
\(y\)軸対称になります。
