[mathjax]
積分問題5番
思考
共通因数で割り、分母を因数分解した後、部分分数分解して計算していきます。
計算
分子分母を共通因数である\( (x-1) \)で割って部分分数分解します。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{x^4-1} dx \)
\(= \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+x^2+x+1}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{(x+1)(x^2+1)}\) （因数分解）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \biggl(\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{x-1}{x^2+1}\biggr)dx\) （部分分数分解）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\) （第二項の分子を分解）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+1|-\displaystyle\frac{1}{4}\log|x^2+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\arctan x+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+1|-\displaystyle\frac{1}{4}\log|x^2+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\arctan x+C\)
