積分問題51番

積分問題
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積分問題51番

 

\(n\geq 2\)の自然数。

 

思考

どうしていいか難しいですが、今回は被積分関数を

\(t=\displaystyle\frac{1}{x^n+1}\)  と置きます。

 

\(dt=-(x^n+1)^{-2}nx^{n-1}dx=-nx^{n-1}t^2 dx\)

 

 

解答1

これらを踏まえて問題の積分を考える。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)

 

\(=\displaystyle\int_{1}^{0}-\displaystyle\frac{t}{nx^{n-1}t^2}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dt}{tx^{n-1}}\)

 

\(x^n\)が作り出せると\(t\) に直せたりと嬉しいので分子分母に\(x\) をかけます。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{tx^{n}}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{1}{t}-1\biggr)^{\frac{1}{n}}}{t\biggl(\displaystyle\frac{1}{t}-1\biggr)}dt\) \(t\)で表す。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{1-t}{t}\biggr)^{\frac{1}{n}}}{1-t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}(1-t)^{\frac{1}{n}-1}t^{-\frac{1}{n}}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}(1-t)^{\frac{1}{n}-1}t^{(1-\frac{1}{n})-1}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}B\biggl(\displaystyle\frac{1}{n},1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)\) 積分をベータ関数に直す。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}(Γ\biggl(\displaystyle\frac{1}{n}\biggr),Γ\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr))\)

 

ここでガンマ関数の相反公式 \(Γ(z)Γ(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi z}\) を使用します。

 

ガンマ関数の相反公式
 ガンマ関数の相反公式\(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin\pi z}\)  (adsbygoogle = window.adsbygoogle ...

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\) ※\(z=\displaystyle\frac{1}{n}\)として相反公式適用。

 

解答2

\(t=x^n\)とおきます。

\(x=t^{\frac{1}{n}}\)になり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}\) なので

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{t+1}dt\)

 

ここで、

複素積分問題6
 問題\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{k-1}}{x+1}dx\) (\(0<k<1\))  (adsbygoogle = ...

 

を \(k=\displaystyle\frac{1}{n}\)として適用すると

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\)

 

解答3

複素積分の手法で解きます。以下に書きました。

複素積分問題9
 問題\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\) 以下と同じ問題です。(複素積分の方法で解いてみようという感じです。) 解答 上の...

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\)

 

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