[mathjax]
積分問題51番
\(n\geq 2\)の自然数。
思考
どうしていいか難しいですが、今回は被積分関数を
\(t=\displaystyle\frac{1}{x^n+1}\) と置きます。
\(dt=-(x^n+1)^{-2}nx^{n-1}dx=-nx^{n-1}t^2 dx\)
解答１
これらを踏まえて問題の積分を考える。
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^n+1}\)
\(=\displaystyle\int_{1}^{0}-\displaystyle\frac{t}{nx^{n-1}t^2}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dt}{tx^{n-1}}\)
\(x^n\)が作り出せると\(t\) に直せたりと嬉しいので分子分母に\(x\) をかけます。
\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{tx^{n}}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{1}{t}-1\biggr)^{\frac{1}{n}}}{t\biggl(\displaystyle\frac{1}{t}-1\biggr)}dt\) \(t\)で表す。
\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{1-t}{t}\biggr)^{\frac{1}{n}}}{1-t}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}(1-t)^{\frac{1}{n}-1}t^{-\frac{1}{n}}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}(1-t)^{\frac{1}{n}-1}t^{(1-\frac{1}{n})-1}dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n}B\biggl(\displaystyle\frac{1}{n},1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr)\) 積分をベータ関数に直す。
\(=\displaystyle\frac{1}{n}(Γ\biggl(\displaystyle\frac{1}{n}\biggr),Γ\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{n}\biggr))\)
ここでガンマ関数の相反公式 \(Γ(z)Γ(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin \pi z}\) を使用します。
\(=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\) ※\(z=\displaystyle\frac{1}{n}\)として相反公式適用。
解答２
\(t=x^n\)とおきます。
\(x=t^{\frac{1}{n}}\)になり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}\) なので
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{t+1}dt\)
ここで、
を \(k=\displaystyle\frac{1}{n}\)として適用すると
\(=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\)
解答3
複素積分の手法で解きます。以下に書きました。
答え
\(\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\)
