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積分問題53番
思考
あきらかに \(\sqrt x\) が扱いにくいので\(t=\sqrt x\) と置きます。
\(x=t^2\)なので、 \(dx=2tdt\)。
計算
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}} \cos{\sqrt x}dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t\cos tdt\)
\(=2\biggl[t\sin t\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin tdt\) （部分積分）
\(=\pi+2\biggl[\cos t\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\pi-2\)
答え
\(\pi-2\)
