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目次
積分問題54番
思考
ルートの分数型なので、 \(=t\) と置きます。
\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}\)
変形すると \(x=\displaystyle\frac{1}{t^2+1}\) で \(dx=\displaystyle\frac{-2t}{(t^2+1)^2}dt\)
計算
上の結果を積分に代入する。
\(\displaystyle\int\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}dx\)
\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{(t^2+1)^2}dt\)
\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{(t^2+1)-1}{(t^2+1)^2}dt\) （分子の次数を下げるための変形）
\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+1}\)\(+2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2+1)^2}\)
前半
\(-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+1}\)
\(=-2\tan^{-1} t+C\)
後半
\(t=\tan \theta\) に置きます。 \(dt=\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)である。
\(2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2+1)^2}\)
\(=2\displaystyle\int \cos^2 \theta d\theta\)
\(=\displaystyle\int(1+\cos 2\theta)d\theta\) （半角公式利用）
\(=\theta+\displaystyle\frac{\sin 2\theta}{2}+C\)
\(=\theta+\cos^2 \theta\tan \theta+C\)
\(=\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{t}{1+t^2}+C\)
まとめる
最終的な答えは変数を戻すと
\(-2\tan^{-1} t\)\(+\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{t}{1+t^2}+C\)
\(=-\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{t}{t^2+1}+C\)
\(=-\tan^{-1} \sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}+\sqrt{x(1-x)}+C\)
答え
\(-\tan^{-1} \sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}+\sqrt{x(1-x)}+C\)
