[mathjax]
積分問題55番
思考
\(t=\log x\) の置換を最初は考えると思います。
しかし\(e^x\log x\)が登場してうまく解けません。まずは分解してみます。
計算
\(\displaystyle\int(\log(\log x)+\displaystyle\frac{1}{\log x})dx\)
\(=\displaystyle\int \log(\log x)dx\)\(+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\log x}dx\)
第二項はこれも難しいので第一項に注目します。置き換えが厳しいとなると部分積分などしかありません。\((x)’\) が隠れていると考えて、
\(\displaystyle\int \log(\log x)dx\)
\(=x\log(\log x)-\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x\log x}dx\)
\(=x\log(\log x)-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\log x}\)
そしてこの第二項が先ほど上で残した第二項の積分と相殺します。なので積分の答えは
\(x\log(\log x)+C\)
答え
\(x\log(\log x)+C\)
