[mathjax]
積分問題56番
思考
\(x\) に \(e^x\) に \(\sin x\) に盛りだくさんで大変扱いにくいです。
どれか消したいなと考えたときに\(x\) を部分積分によって消すことが出来るので、この方針でいきます。
計算
\(e^x\sin x\)
まずは、 \(\displaystyle\int e^x\sin x\) を求めておきます。（後で使用）
\([e^x\sin x]’=e^x(\sin x+\cos x)\) ……①
\([e^x\cos x]’=e^x(-\sin x+\cos x)\) ……②
①－②で \([e^x(\sin x-\cos x)]’=2e^x\sin x\)
よって積分結果は
\(\displaystyle\int e^x\sin x dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\)
本題
では本題の積分をやっていきます。（部分積分）
\(\displaystyle\int xe^x\sin x dx \)
\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int e^x(\sin x-\cos x)dx\)
\(\displaystyle\int e^x\sin x dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\)
また、\(e^x\cos x\)に関しては上の①+②から出せる。
\(\displaystyle\int e^x\cos x dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C\)
よって答えは
\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)\biggr]+C\)
\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{4}e^x(\sin x-\cos x)+\displaystyle\frac{1}{4}e^x(\sin x+\cos x)+C\)
\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)+\displaystyle\frac{1}{2}e^x\cos x+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)+\displaystyle\frac{1}{2}e^x\cos x+C\)
