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積分問題58番
思考
分母が面倒です。この問題では根号を両方外すため、\(x=t^6\) とおきます。
\(dx=6t^5dt\)。
計算
問題の積分は
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt[3] x+\sqrt x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{6t^5}{t^2+t^3}dt\)
\(=6\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^3}{t+1}dt\)（\(t^2\) で分子分母を割る）
\(=6\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2(t+1)-t^2}{t+1}dt\)
\(=6\displaystyle\int t^2dt-6\displaystyle\int\displaystyle\frac{t(1+t)-(t+1)+1}{1+t}dt\)
\(=6\displaystyle\int t^2dt-6\displaystyle\int tdt+6\displaystyle\int dt-6\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)
\(=2t^3-3t^2+6t-6\log|1+t|+C\)
\(=2\sqrt x-3\sqrt[3] x+6\sqrt[6] x-6\log|1+\sqrt[6] x|+C\)
答え
\(2\sqrt x-3\sqrt[3] x+6\sqrt[6] x-6\log|1+\sqrt[6] x|+C\)
