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積分問題59番
思考
\(e^x\)の部分を置換をするわけですが積分範囲を有限区間にするために\(u=e^x\)ではなく\(u=e^{-x}\)とおいておきます。
計算
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\log\biggl(\displaystyle\frac{e^x+1}{e^x-1}\biggr)dx\)
\(\displaystyle\int_{1}^{0}\log\biggl(\displaystyle\frac{1+u}{1-u}\biggr)\displaystyle\frac{-du}{u}\)
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{u}\log\biggl(\displaystyle\frac{1+u}{1-u}\biggr)du\)
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}du\)\(-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1-u|}{u}du\)
前半
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}du\) ……①
ここで、無限級数の公式 \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\) を考え、この両辺を積分する。
\(\log|1+x|=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\)
両辺を\(x\)でわり、積分をとります。それは①の積分です。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}\)\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{n}\)
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\)
後半
こちらも前半同様。
\(-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1-u|}{u}du\) ……②
無限級数の公式 \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) の両辺を積分する。
\(-\log|1-x|=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
両辺を\(x\)でわり、積分をとります。それは②の積分です。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{-\log|1-u|}{u}\)\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{n}\)
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\)
まとめ
上二つをまとめる。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}du\)\(-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1-u|}{u}du\)
\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\)\(+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\)
\(=2\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k+1)^2}\)=\(2\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots\biggr)\)
級数
ここで、バーゼル問題の等式より
\(\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots\biggr)\)\(+\biggl(\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}+\cdots\biggr)\)
変形すると橙の部分は
\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots\biggr)\)\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\frac{\pi^2}{8}\)
この結果を2倍した\(\displaystyle\frac{\pi^2}{4}\) がこの問題の答え。
答え
\(\displaystyle\frac{\pi^2}{4}\)
