[mathjax]
積分問題61番
解答1
複素積分の方法で解く。以下の経路で考える。
\(\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{半円} \frac{1}{z^4+1}dz=\displaystyle\int_{一周} \frac{1}{z^4+1}dz\) \(\cdots\) ①
第一項
\(R\to \infty\) にすると \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx\)
第二項
\(|z|>1\) の時、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)
\(R\to\infty\)のとき
\(\biggl|\displaystyle\int_{半円} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\int_{半円} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^4+1}\biggr| |dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\)
右辺
領域内の極は
\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)
それぞれの留数は
\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)
\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)
つまり
\(\displaystyle\int_{一周} \frac{1}{z^4+1}dz=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)
全体
①の等式に上の結果をすべて代入する。
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)
\(\displaystyle\frac{1}{x^4+1}\)は偶関数なので以下のように変形できる。
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx\)\(=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}\)
解答2
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\)
\(n=4\)の場合を代入すると
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^4+1}=\displaystyle\frac{\sqrt2\pi}{4}\)
答え
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\pi\)
