[mathjax]
積分問題62番
思考
なかなか特殊な解き方なので知らないと厳しいかもしれません。
計算
\(I=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^n-1}{\log x}dx\) （Iは勝手においた）
nで偏微分します。（nという文字が悪かったかもしれないですが今回のnは普通の変数です。）
\(\displaystyle\frac{\partial I}{\partial n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^n\log x}{\log x}dx=\displaystyle\int_{0}^{1}x^ndx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{n+1}\)
つまり、\(\displaystyle\frac{\partial I}{\partial n}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\)。この両辺をnで積分。
\(I=\log|n+1|+C\)
\(n=0\) を代入すると\(C=0\)であることがわかる。
よって答えは \(\log|n+1|\)。
答え
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^n-1}{\log x}dx=\log|n+1|\)
