[mathjax]
積分問題64番
思考
このままではできないので、置換します。
置き換え方ですが、\(\sqrt{1-e^x}\) 全体を置き換えます。
\(e^x\)を置き換えても結局全体を後で置き換えることになる。（実際解くときはこっちで解くことになりそうですが）
計算
\(t=\sqrt{1-e^x}\)とおく。 \(x=\log(1-t^2)\)なので微分すると
\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{2t}{t^2-1}\)
これらを代入して計算すると
\(\displaystyle\int\sqrt{1-e^x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2t^2}{t^2-1}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2(t^2-1)+2}{t^2-1}dt\) （分子の次数を減らすための変形）
\(=\displaystyle\int \biggl[2+\displaystyle\frac{2}{(t-1)(t+1)}\biggr]dt\)
\(=2t+\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr)dt\) （第二項は部分分数分解した）
\(=2t+\log \biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|+C\)
\(=2\sqrt{1-e^x}+\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{1-e^x}-1}{\sqrt{1-e^x}+1}\biggr|+C\) （変数を戻した）
答え
\(2\sqrt{1-e^x}+\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{1-e^x}-1}{\sqrt{1-e^x}+1}\biggr|+C\)
