[mathjax]
積分問題66番
思考
指数部分が扱いにくいので置き換えます。
計算
\(t=2^x\)とおく。
\(x=\log_{2} t=\displaystyle\frac{\log t}{\log 2}\) より微分すると\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{1}{t\log 2}\)
これらを代入する。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{2^x}{4^x+1}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{\log 2(t^2+1)}\) （代入）
\(=\displaystyle\frac{\tan^{-1} t}{\log 2}+C\) （積分）
\(=\displaystyle\frac{\tan^{-1} (2^x)}{\log 2}+C\) （変数戻す）
答え
\(\displaystyle\frac{\tan^{-1} (2^x)}{\log 2}+C\)
