[mathjax]
積分問題68番
思考
分母を因数分解すると\(x(x^2+1)\)となります。
ここからそのまま部分分数分解してもいいですが、今回は \((x-1)^2=(x^2+1)-2x\) で、\((x^2+1)\)が登場するということを利用してみます。
計算1
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x-1)^4}{x(x^2+1)}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x^2+1-2x)^2}{x(x^2+1)}dx\)
\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{(x^2+1)^2}{x(x^2+1)}-\displaystyle\frac{4x(x^2+1)}{x(x^2+1)}+\displaystyle\frac{4x^2}{x(x^2+1)}\biggr)dx\)
\(=\displaystyle\int\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{x}-4+\displaystyle\frac{4x}{x^2+1}\biggr)dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+2\log(x^2+1)+C\)
計算2
普通は素直にこちらで計算すると思います。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x-1)^4}{x^3+x}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}{x(x^2+1)}dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x^3+x)(x-4)+5x^2+1}{x(x^2+1)}dx\) ※割り算してる（分子の次数を下げるため）
\(=\displaystyle\int\biggl(x-4+\displaystyle\frac{5x^2+1}{x(x^2+1)}\biggr)dx\)
\(=\displaystyle\int\biggl(x-4+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4x}{x^2+1}\biggr)dx\) ※後半を部分分数分解
\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+2\log(x^2+1)+C\)
答え
\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+2\log(x^2+1)+C\)
